На главную   Контакты   Поиск   Карта сайта   Ссылки 
рефераты
 

Решение уравнений, систем уравнений, неравенств графически, стр. 1

Основная часть:

Применение графиков в решении уравнений.

I)Графическое решение квадратного уравнения:

Рассмотрим приведённое квадратное уравнение : x2+px+q=0;

Перепишем его так:x2=-px-q.(1)

Построим графики зависимостей:y=x2 и y=-px-q.

График первой зависимости нам известен, это есть парабола; вторая зависимость- линейная; её график есть прямая линия. Из уравнения (1) видно, что в том случае, когда х является его решением, рдинаты точек обоих графиков равны между собой. Значит, данному значению х соответствует одна и та же точка как на параболе, так и на прямой, то есть парабола и прямая пересекаются в точке с абциссой х.

Отсюда следующий графический способ решения квадратного уравнения:чертим параболу у=х2, чертим(по точкам) прямую у=-рх-q.

Если прямая и парабола пересекаются, то абциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения. Этот способ удобен, если не требуется большой точности.

Примеры:

1.Решить уравнение:4x2-12x+7=0

Представим его в виде x2=3x-7/4.

Построим параболу y=x2 и прямую y=3x-7/4.

Рисунок 1.

Для построения прямой можно взять, например, точки(0;-7/4) и (2;17/4).Парабола и прямая пересекаются в двух точках с абциссами x1=0.8 и x2=2.2 (см. рисунок 1).

2.Решить уравнение : x2-x+1=0.

Запишем уравнение в виде: x2=x-1.

Построив параболу у=х2 и прямую у=х-1, увидим, что они не пересекаются(рисунок 2), значит уравнение не имеет корней.

Рисунок 2.

Проверим это. Вычислим дискриминант:

D=(-1)2-4=-3<0,

А поэтому уравнение не имеет корней.

3. Решить уравнение: x2-2x+1=0

Рисунок 3.

Если аккуратно начертить параболу у=х2 и прямую у=2х-1, то увидим, что они имеют одну общую точку(прямая касается параболы, см. рисунок 3), х=1, у=1;уравнение имеет один корень х=1(обязательно проверить это вычислением).

II) Системы уравнений.

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство. Графики уравнений с двумя переменными весьма разнообразны. Например, графиком уравнения 2х+3у=15 является прямая, уравнения у=0.5х2 –2 –парабола, уравнения х2 +у2=4 – окружность, и т.д..

Степень целого уравнения с двумя переменными определяется так же, как и степень целого уравнения с одной переменной. Если левая часть уравнения с двумя переменными представляет собой многочлен стандартного вида, а правая число 0, то степень уравнения считают равной степени многочлена. Для того чтобы выяснить, какова степень какого-либо уравнения с двумя переменными, его заменяют равносильным уравнением, левая часть которого – многочлен стандартного вида, а правая- нуль. Рассмотрим графический способ решения.

Пример1:решить систему ⌠ x2 +y2 =25 (1)

⌠y=-x2+2x+5 (2)

Построим в одной системе координат графики уравнений(Рисунок4):

Построим в одной системе координат графи)

х2 +у2=25 и у=-х2+2х+5

Координаты любой точки построенной окружности являются решением уравнения 1, а координаты любой точки параболы являются решением уравнения 2. Значит, координаты каждой из точек пересечения окружности и параболы удовлетворяют как первому уравнению системы, так и второму, т.е. являются решением рассматриваемой системы. Используя рисунок, находим приближённые значения координат точек пересечения графиков: А(-2,2; -4,5), В(0;5), С(2,2;4,5), D(4;-3).Следовательно, система уравнений имеет четыре решения:

х1≈-2,2 , у1≈-4,5; х2≈0, у2≈5;

х3≈2,2 , у3≈4,5; х4≈4, у4≈-3.

Подставив найденные значения в уравнения системы, можно убедиться, что второе и четвёртое из этих решений являются точными, а первое и третье – приближёнными.

III)Тригонометрические уравнения:

Тригонометрические уравнения решают как аналитически, так и графически. Рассмотрим графический способ решения на примере.

Рисунок5.

Пример1:sinx+cosx=1. Построим графики функций y=sinx u y=1-cosx.(рисунок 5) Из графика видно, что уравнение имеет 2 решения: х=2πп,где пЄZ и х=π/2+2πk,где kЄZ(Обязательно проверить это вычислениями). Рисунок 6.

Пример2:Решить уравнение:tg2x+tgx=0. Решать это уравнение будем по принципу решения предыдущего. Сначала построим графики(См. рисунок 6)функций: y=tg2x u y=-tgx. По графику видно что уравнение имеет 2 решения: х=πп, пЄZ u x=2πk/3, где kЄZ.(Проверить это вычислениями)

Применение графиков в решении неравенств.

1)Неравенства с модулем.

    вперед >>

© 2006. Все права защищены.